Wahrscheinlichkeitstheorie by Prof. Dr. Achim Klenke (auth.)

By Prof. Dr. Achim Klenke (auth.)

Dieses Lehrbuch bietet eine umfassende Einf?hrung in die wichtigsten Gebiete der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre ma?theoretischen Grundlagen. Breite und Auswahl der Themen sind einmalig in der deutschsprachigen Literatur. Die 250 ?bungsaufgaben und zahlreichen Abbildungen helfen Lesern den Lernstoff zu vertiefen. Themenschwerpunkte sind u. a. die Ma?- und Integrationstheorie, Grenzwerts?tze f?r Summen von Zufallsvariablen, Martingale, Perkolation, Markovketten und elektrische Netzwerke sowie die Konstruktion stochastischer Prozesse.

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Mn } mit [ω1 , . . , ωk ] ∩ Cn,in = ∅ f¨ur unendlich viele k ∈ N. Wegen [ω1 ] ⊃ [ω1 , ω2 ] ⊃ . . folgt [ω1 , . . , ωk ] ∩ Cn,in = ∅ f¨ur alle k, n ∈ N. F¨ur festes n ∈ N und großes k ist [ω1 , . . , ωk ] ⊂ Cn,in , also ist ω = (ω1 , ω2 , . ) ∈ ∞ Cn,in ⊂ Bn . Es folgt im Widerspruch zur Annahme, dass n=1 Bn = ∅. 53 haben wir den folgenden Satz gezeigt. 64 (Produktmaß, Bernoulli-Maß). Sei E eine endliche, nichtleere Menge und Ω = E N sowie (pe )e∈E ein Wahrscheinlichkeitsvektor. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes W-Maß μ auf σ(A) = B(Ω) mit n μ([ω1 , .

Daf¨ur sind die meisten σ-Algebren A einfach zu groß. 81 (Messbarkeit auf einem Erzeuger). F¨ur jedes System E ⊂ A von A -messbaren Mengen gilt σ(X −1 (E )) = X −1 (σ(E )) und damit X ist A – σ(E )-messbar ⇐⇒ X −1 (E ) ∈ A f¨ur jedes E ∈ E . Ist speziell σ(E ) = A , dann gilt X ist A – A -messbar ⇐⇒ X −1 (E ) ⊂ A. Beweis. Offenbar ist X −1 (E ) ⊂ X −1 (σ(E )) = σ(X −1 (σ(E ))). Also ist auch σ(X −1 (E )) ⊂ X −1 (σ(E )). 2 pr¨ufen: 36 1 Grundlagen der Maßtheorie (i) Offensichtlich ist Ω ∈ A0 . Ist A ∈ A0 , so ist (ii) (Komplementstabilit¨at) X −1 ((A )c ) = (X −1 (A ))c ∈ σ(X −1 (E )), also (A )c ∈ A0 .

M(μ∗ ) paarweise disjunkt und A := μ∗ (A ∩ E) + μ∗ (Ac ∩ E) ≤ μ∗ (E) n An . Zu zeigen n=1 ist A ∈ M(μ∗ ), also Setze Bn = ∞ f¨ur jedes E ∈ 2Ω . 11) Ai f¨ur jedes n ∈ N. Es gilt f¨ur jedes n ∈ N i=1 μ∗ (E ∩ Bn+1 ) = μ∗ (E ∩ Bn+1 ) ∩ Bn + μ∗ (E ∩ Bn+1 ) ∩ Bnc = μ∗ (E ∩ Bn ) + μ∗ (E ∩ An+1 ), und induktiv μ∗ (E ∩ Bn ) = n i=1 μ∗ (E ∩ Ai ). Wegen der Monotonie von μ∗ folgt μ∗ (E) = μ∗ (E ∩ Bn ) + μ∗ (E ∩ Bnc ) ≥ μ∗ (E ∩ Bn ) + μ∗ (E ∩ Ac ) n μ∗ (E ∩ Ai ) + μ∗ (E ∩ Ac ). = i=1 24 1 Grundlagen der Maßtheorie Indem wir n → ∞ gehen lassen, folgt mit der σ-Subadditivit¨at von μ∗ μ∗ (E) ≥ ∞ μ∗ (E ∩ Ai ) + μ∗ (E ∩ Ac ) ≥ μ∗ (E ∩ A) + μ∗ (E ∩ Ac ).

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