Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik by Franz Weinberg

By Franz Weinberg

Kenntnis der Grundlagen von Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik ist in zunehmendem MaBe fiir den Techniker erforderlich. Dieses Buch wendet sich an mathematisch interessierte Ingenieure, die auf dem Gebiete des Operations examine eigene, uber den regimen rahmen hinausgehende Beitrage leisten wollen. An Gelegenheiten, die folgenden Darlegungen in der Praxis zu gebrauchen, wird es gewiB nicht mangeln. Die Hoffnung des Verfassers ist es, sie seien in einer shape erfolgt, die ihre konkrete Verwertung moglichst muhelos gestattet, so daB sich neben die ZweckmaBigkeit ihrer Anwendung auch noch das Interesse und die Freude am Experimentieren gesellen. Das Buch gliedert sich in vier Kapitel, denen jeweils knappe Literaturhinweise zugedacht sind. Herr Prof. Dr. P. HUBER von der Eidgenossischen Technischen Hochschule und Herr Privatdozent Dr. P. KALL von der Universitat Zurich haben einige Partien des Manu skripts gelesen und sehr wertvolle Kritik geleistet; hierfur mochte ich ihnen bestens danken. Mein besonderer Dank aber gilt Herrn Prof. Dr. W. SAXER von der Eidgenossischen Technischen Hochschule, der zwar die Entstehung dieses Buches personlich nicht mitverfolgt hat; trotz dem ware es ohne ihn wohl niemals zustande gekommen, denn er conflict mein Lehrer, der mein Interesse an mathematischen Fragen wachrief und farderte und den ich stets hoch verehren werde. Zurich, April 1968 Franz Weinberg Inhaltsverzeichnis 1 Einfiihrung . 1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 15 1.1. Merkmalsraum, Ereignisse sixteen sixteen 1.11. Grundsatzliches . .

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Ll) und das Ereignis B: AiAj = 0 fur i =1= j, n BC~Ai' i-I Dann ist nach der Multiplikationsregel P(BA i } = P(B 1 Ai} P(A i } P(A'I B} = P(B I Ai) P(A j ) P(B) = P(A i 1 B} P(B}, woraus , (erste Formel von BAYES) oder unter der Verwendung der Formel der totalen Wahrscheinlichkeit P(A i 1 B} = :(B I Ai) P(A,) }; P(B I Ai) P(A j ) (zweite Formel von BAYES). I-I Obwohl diese Formeln von BAYES einen mathematisch unanfechtbaren Satz darstellen, gaben sie AnlaB zu unzahligen Diskussionen, weil man mit ihrer Hilfe die "Ursache" des Zustandekommens von Ai gewichten kann.

Diese geniigt fiir die Anwendbarkeit der oben angegebenen Formel bei Wahl der komplementaren Losungsmethode fUr die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, daB in einem Zuge wenigstens eines der zwei Ereignisse B oder C auftrete. Man erkennt sofort, daB diese Wahrscheinlichkeit l betragt. Rechnet man komplementar, so verwendet man P(iJ) = t, P(O) = t und findet richtigerweise P(B vC) = 1 - P(B vC) Weinberg, Operations Research = 1 - P(iJ) P(O) = 1- t· t = l. 3 1. 35. Formel der totalen Wahrscheinlichkeit und Formeln von Bayes Seien AI, A 2 , ••• , An punktfremde Ereignisse, deren Vereinigung das zusatzliche Ereignis B vollstandig enthalt (Abb.

Jeder Zettel weist die Wahrscheinlichkeit 1- auf, gezogen zu werden. Dann lauten die Wahrscheinlichkeiten fUr die n = 3 Ereignisse A, B und C: PiA) = P(B) = P(C) = Ferner ist P(AB) und die (~) = = P(AC) = P(BC) t. = 1- 3 Gleichungen fur Unabhangigkeit paarweise sind erfiillt: P(AB) = PiA) P{B), P{AC) = PiA) P(C), P(B C) = P(B) P(C). 32 1. = P(A) P(B) P(O) = - 3 - 1 =4 1. = P(O) = t. Man beachte, daB n Ereignisse in k-Tupeln, 2 < k < n, nur dann unabhangig sind, wenn die Definitionsgleichungen fiir aHe r = 2, 3, ...

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