Einführung in die Algebra by Udo Vetter

By Udo Vetter

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14 lediglich Rd ⊂ Ra1 + . . + Ran zu zeigen. Nach Voraussetzung ist Ra1 + . . + Ran ein Hauptideal, also Ra1 + . . + Ran = Rc mit einem c ∈ R. Dann ist insbesondere c ein gT von a1 , . . , an , also auch ein Teiler von d. h. aber Rd ⊂ Rc. 19 ergibt sich beispielsweise, daß es zu zwei teilerfremden ganzen Zahlen m, n stets ganze Zahlen x, y gibt mit xm + yn = 1. Zum Schluß besprechen wir eine (uns letztlich von den ganzen Zahlen her bekannte) Methode nachzuweisen, daß gewisse Integrit¨atsbereiche Hauptidealbereiche sind.

Der erste Teil der Aussage ist bereits klar, der zweite sehr leicht zu zeigen. Auf Grund der letzten Aussage k¨onnen wir R als Unterring von R N auffassen. Dementsprechend schreiben wir f¨ur die Elemente von (a, 0, . ) von R N einfach a. Es sei R (N) = {(an ) ∈ R N | an = 0 f¨ur fast alle n}. 2. R (N) ist ein Unterring von R N und R ein Unterring von R (N) . ), dann hat jedes (an ) ∈ R (N) eine (eindeutige) Darstellung ∑ (an ) = an X n . 3. Der Ring R (N) heißt Ring der Polynome u¨ ber R in der Unbe¨ stimmten X und seine Elemente entsprechend Polynome u¨ ber R in X .

U rsr ein ggT und u t11 . . u rtr ein kgV von a1 , . . , an . 18. 17 jedes von 0 verschiedene Element aus Q eine Darstellung ab−1 mit teilerfremden Elementen a, b ∈ R. 19. Es sei R ein Hauptidealbereich, a1 , . . , an seien Elemente von R. Ist d ein ggT von a1 , . . , an , so gilt Rd = Ra1 +. +Ran . Insbesondere sind a1 , . . , an genau dann teilerfremd, wenn R = Ra1 + . . + Ran ist. Beweis. 14 lediglich Rd ⊂ Ra1 + . . + Ran zu zeigen. Nach Voraussetzung ist Ra1 + . . + Ran ein Hauptideal, also Ra1 + .

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