Brauergruppen: LATEX-Bearbeitung von Ole Riedlin by Ina Kersten

By Ina Kersten

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Besteuerung der GmbH & Co. KG

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Hinweis: Unter dem Stichwort inseparable K¨orpererweiterung“ findet man ” in Algebra-B¨ uchern einen L¨ osungsweg. Aufgabe 17. Gegeben seien eine K¨ orpererweiterung L von K, eine K-Algebra A und ein Linksideal I = (0) in A⊗K L . F¨ ur λ ∈ L sei 1⊗λ : I → I, x → (1⊗λ)x , die Linksmultiplikation mit 1⊗λ in I , und es sei L verm¨oge L → B , λ → 1⊗λ , in B := EndA⊗K K (I) eingebettet. Man zeige, dass dann ZB (L) = EndA⊗K L (I) gilt. Aufgabe 18. Sei A eine Azumaya-Algebra u ¨ber K . Man zeige, dass indK A ein Teiler von ur jeden u dimK L f¨ ¨ber K endlich-dimensionalen Zerf¨allungsk¨orper L von A ist.

Daher folgt aus Aufgabe 10, dass ZA (B) einfach ist. 5 da A zentral Z(B) . Da Z(B) ⊂ Z(ZA (B)) ist, folgt Z(B) = Z(ZA (B)) . Zeige nun, wie oben angek¨ undigt: Behauptung. ZA⊗K E (K ⊗K (B)) ZA⊗K E (B ⊗K K) . Beweis. Es ist A ⊗K E eine Azumaya-Algebra u ¨ber K . Definiere f, g : B → A ⊗K E durch f (b) = b ⊗ 1E und g(b) = 1 ⊗ b ∈ B . 2 ) = uZA⊗K E (f (B))u−1 ZA⊗K E (f (B)) = ZA⊗K E (B ⊗K K) , mit einem u ∈ (A ⊗K E)∗ nach Aufgabe 14 durch Konjugation mit u−1 da f (B) = B ⊗K K . 5 Der Zentralisatorsatz Sei nun B kommutativ.

Sei B eine einfache Unteralgebra einer Azumaya-Algebra A u ¨ber K . Dann gibt es einen K-Algebraisomorphismus ∼ ϕ : A ⊗K B op → ZA (B) ⊗K Mn×n (K) mit n = dimK B . Insbesondere ist ZA (B) eine einfache K-Algebra mit Zentrum Z(ZA (B)) = Z(B) . Ferner gilt: Ist B kommutativ, also B ⊂ ZA (B) , so ist ϕ(1 ⊗ b) = b ⊗ 1 f¨ ur alle b ∈ B . Beweis. Sei E := EndK B . Es ist dann K verm¨oge K → E , λ → λ1E , in E eingebettet. 6 einfach ist. Daher folgt aus Aufgabe 10, dass ZA (B) einfach ist. 5 da A zentral Z(B) .

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